QR-Zerlegung

Die QR-Zerlegung oder QR-Faktorisierung ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und Numerik. Man bezeichnet damit die Zerlegung einer Matrix ${\displaystyle A}$ in das Produkt

${\displaystyle A=Q\cdot R}$

zweier anderer Matrizen, wobei ${\displaystyle Q}$ eine orthogonale bzw. unitäre Matrix und ${\displaystyle R}$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Die QR-Zerlegung ist ein Spezialfall der Iwasawa-Zerlegung.

Eine solche Zerlegung existiert stets und kann mit verschiedenen Algorithmen berechnet werden. Die bekanntesten davon sind

• Householdertransformationen
• Givens-Rotationen
• Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren.

Das letztere wird üblicherweise in der linearen Algebra benutzt, ist aber in seiner Standardform numerisch instabil. Man kann das Verfahren aber erweitern und numerisch stabilisieren.