Ramanujan-Primzahl

Ramanujan-Primzahlen sind Primzahlen, die einer Ungleichung nach S. Ramanujan genügen, die aus seiner Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulats folgte, das Ramanujan dabei neu bewies.^[1] Das Bertrandsche Postulat besagt, dass für alle Zahlen ${\displaystyle x\geq 1}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle 2x}$ mindestens eine Primzahl liegt. Ramanujan-Primzahlen ${\displaystyle R_{n}}$ sind als kleinste Zahlen definiert, so dass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Dass es diese für jedes ${\displaystyle n}$ gibt, bewies Ramanujan. Der Name Ramanujan-Primzahl wurde 2005 von Jonathan Sondow eingeführt.

Sei ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)}$ die Primzahlfunktion, das heißt, ${\displaystyle \pi (x)}$ ist die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle x}$ sind. Dann ist die ${\displaystyle n}$‑te Ramanujan-Primzahl die kleinste Zahl ${\displaystyle R_{n}}$, für die gilt:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq n}$ für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$

Mit anderen Worten: Sie sind die kleinsten Zahlen ${\displaystyle R_{n}}$, sodass für alle ${\displaystyle x\geq R_{n}}$ zwischen ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$ und ${\displaystyle x}$ mindestens ${\displaystyle n}$ Primzahlen liegen. Weil die Funktion ${\displaystyle x\mapsto \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})}$ nur an einer primen Stelle ${\displaystyle x}$ wachsen kann, muss ${\displaystyle R_{n}}$ eine Primzahl sein und es gilt:

${\displaystyle \pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n}$

Die ersten Ramanujan-Primzahlen sind:

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, … (Folge A104272 in OEIS)

Das Bertrandsche Postulat ist gerade der Fall ${\displaystyle n=1}$ (mit ${\displaystyle R_{1}=2}$).

Ramanujan bewies die Existenz dieser Primzahlen, indem er die Ungleichung

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)>{\frac {1}{\log x}}\left({\frac {x}{6}}-3{\sqrt {x}}\right)}$

für ${\displaystyle x>300}$ ableitete. Die rechte Seite wächst monoton gegen Unendlich für ${\displaystyle x\to \infty }$.

1. ↑ Ramanujan: A proof of Bertrand’s postulate. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 11 (1919), 181–182.