Rationaler Punkt

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man als rationale Punkte klassisch die Punkte mit rationalen Koordinaten in einer durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierten algebraischen Varietät. Im modernen Zugang zur algebraischen Mathematik nach Grothendieck definiert man rationale Punkte eines Schemas als Ringhomomorphismen des Schemas in die rationalen Zahlen.

Zahlreiche klassische Probleme der Zahlentheorie lassen sich als Suche nach rationalen Punkte auf Kurven interpretieren. Zum Beispiel ist der große Satz von Fermat äquivalent dazu, dass es für ${\displaystyle n\geq 3}$ auf der durch die Gleichung ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ gegebenen Kurve außer den trivialen Lösungen ${\displaystyle (1,0)}$ und ${\displaystyle (0,1)}$ sowie bei geraden Exponenten ${\displaystyle (-1,0),(0,-1)}$ keine weiteren rationalen Punkte gibt.