Back Betti's theorem English Teorema de Maxwell-Betti Spanish Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti French Betti-tétel Hungarian マクスウェル・ベティの相反作用の定理 Japanese Zasada wzajemności prac Bettiego Polish Teorema de Maxwell-Betti Portuguese
Der Satz von Betti (auch Satz von Maxwell und Betti[1], Reziprozitätsatz von Betti oder Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeit[2]) wurde 1872 von Enrico Betti formuliert. Er besagt, dass in zwei gleichen, linear elastischen Systemen, die durch Kräfte verformt werden, im Gleichgewicht
„die Arbeiten, die die Kräfte des ersten Systems auf den Wegen des zweiten Systems leisten, gleich den Arbeiten sind, die die Kräfte des zweiten Systems auf den Wegen des ersten Systems leisten.“
Die Arbeiten des einen Kräftesystems an den von einem anderen Kräftesystem hervorgerufenen Verschiebungen werden reziproke Arbeiten genannt. Der Satz gilt auch für Drehmomente, die Arbeiten an Verdrehungen leisten, ebenso wie für mechanische Spannungen, die Arbeiten an Dehnungen verrichten, worüber auch der Beweis geführt wird[4]. Anstatt zwei gleiche Systeme gleichzeitig zu belasten, kann auch ein System nacheinander mit zwei Kräftesystemen beaufschlagt werden.
Der Satz von Betti hat in der Technischen Mechanik, speziell der Baustatik, Bedeutung. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des 1864 publizierten Satzes von James Clerk Maxwell (1831–1879) und hatte grundlegende Bedeutung für die Herausbildung der klassischen Baustatik von 1875 bis 1900 im Allgemeinen und der Theorie der Einflusslinien im Besonderen.[5] Er ist auch eine Grundlage der Randelementmethode.[6]
- ↑ Petre P. Teodorescu: Treatise on Classical Elasticity. Theory and Related Problems. Springer, Dordrecht 2013, ISBN 978-94-007-2615-4 (google.de [abgerufen am 19. März 2017]).
- ↑ Daniel Materna: Finite Elemente und Einflussfunktionen, Diplomarbeit. (PDF) Abgerufen am 25. August 2016.
- ↑ Wolfram Franke, Thorsten Kunow: Kleines Einmaleins der Baustatik. Kassel university press GmbH, Kassel 2007, ISBN 978-3-89958-306-9 (google.de [abgerufen am 5. März 2017]).
- ↑ M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5, S. 98 f.
- ↑ Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Berlin: Ernst & Sohn 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 476 ff.
- ↑ Thorsten Kunow: Verbesserte Berechnung von lokalen Zielgrößen mit der Methode der finiten Elemente unter Verwendung von Grundlösungen. (PDF) S. Kap. 2.1, abgerufen am 25. August 2016.