Satz von Perron-Frobenius

Der Satz von Perron-Frobenius befasst sich mit der Existenz eines positiven Eigenvektors zu einem positiven, betragsgrößten Eigenwert von nichtnegativen Matrizen. Die Aussagen haben eine wichtige Bedeutung zum Beispiel für die Potenzmethode und Markow-Ketten.

Der Satz wurde zunächst von Oskar Perron für den einfacheren Fall positiver Matrizen gezeigt und dann von Ferdinand Georg Frobenius für nicht-negative Matrizen verallgemeinert.

Die Begriffe positiv und nicht-negativ sind dabei elementweise zu verstehen:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}>0\iff a_{ij}>0,\ i,j=1,\ldots ,n.}$

Dadurch wird auch eine Halbordnung unter Matrizen eingeführt, man schreibt ${\displaystyle A\leq B}$, wenn ${\displaystyle B-A\geq 0}$ gilt.