Schema (algebraische Geometrie)

Die klassische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Teilmengen des affinen oder projektiven Raumes, die als Nullstellenmengen von endlich vielen Polynomen entstehen (algebraische Varietäten). Die geometrischen Objekte sind also Lösungsmengen von algebraischen Gleichungssystemen. Der Begriff Schema motiviert sich daraus, nicht nur Lösungen in einem festen algebraisch abgeschlossenen Körper zu betrachten, sondern Lösungen in beliebigen Ringen, und zwar gleichzeitig. Als Beispiel betrachten wir die Gleichung ${\displaystyle x^{2}-2=0}$. Sie hat über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ keine Lösungen, in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dagegen jeweils zwei; dabei sind die Lösungen in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ natürlich die Bilder der Lösungen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Diese Daten ergeben zusammen einen Funktor (Ringe) → (Mengen), der einem Ring ${\displaystyle R}$ die Menge

${\displaystyle F(R)=\{r\in R\mid r^{2}=2\}}$

der Lösungen oder Punkte zuordnet. Dieser Funktor ist darstellbar, d. h., es gibt einen Ring ${\displaystyle S}$, so dass

${\displaystyle F(R)=\operatorname {Hom} (S,R)}$

gilt. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,R)}$ bezeichnet dabei die Menge der Ringhomomorphismen ${\displaystyle S\to R}$; in unserem Beispiel ist ${\displaystyle S=\mathbb {Z} [T]/(T^{2}-2).}$ Es stellt sich heraus, dass die Punktfunktoren zu klassischen algebraischen Varietäten genau dann darstellbar (über der Kategorie der Ringe bzw. k-Algebren) sind, wenn die Varietäten affin sind. Wenn nun der Begriff Schema eine möglichst weitreichende Verallgemeinerung des Begriffs Varietät sein soll, so ist ein affines Schema nichts anderes als ein Ring (zumindest aus kategorieller Sicht), und der allgemeine Begriff „Schema“ sollte so gefasst sein, dass alle Varietäten darstellbar in der Kategorie der Schemata sind.

Da es nicht ohne weiteres möglich ist, den Begriff des Ringes geeignet zu verallgemeinern, basiert der Begriff Schema stattdessen auf dem Spektrum eines Ringes. Die Konstruktion des Spektrums ist eine (kontravariante) treue Einbettung der Kategorie der Ringe in die Kategorie der geringten Räume, also der topologischen Räume zusammen mit einer Garbe von Ringen, und der wesentliche Teil der Definition eines Schemas besteht nur noch darin, die „richtige“ Unterkategorie zu wählen.