Sphenische Zahl

Als sphenische Zahlen (griechisch σφήν sphén „Keil“) werden in der mathematischen Zahlentheorie die natürlichen Zahlen bezeichnet, die das Produkt genau dreier verschiedener Primzahlen sind. So ist beispielsweise die Zahl 30 eine sphenische Zahl, da sie (Primfaktorzerlegung) durch ein Produkt aus den Primzahlen 2, 3 und 5 dargestellt werden kann. 60 hingegen ist keine sphenische Zahl: Zwar lässt sich auch diese durch das Produkt genau dreier Primzahlen darstellen ${\displaystyle (60=2^{2}\cdot 3\cdot 5),}$ doch tritt die 2 in der Primfaktorzerlegung doppelt auf. Die sphenischen Zahlen sind also Fastprimzahlen der Ordnung 3.

In der Oeconomischen Enzyklopädie von Johann Georg Krünitz aus dem späten 18. und frühen 19. Jahrhundert wird eine sphenische Zahl definiert als

[…] eine Körperzahl, welche drei ungleiche Seiten hat, z. B. vier und zwanzig, deren Seiten zwei, drei und vier sind.^[1]

also eine Zahl, die als Produkt dreier verschiedener ganzer Zahlen dargestellt werden kann, die aber keine Primzahlen sein müssen (im gegebenen Beispiel ${\displaystyle 24=2\cdot 3\cdot 4}$ sind 2 und 3 zwar Primzahlen, die 4 jedoch nicht).

Alle sphenischen Zahlen ${\displaystyle n=pqr(p<q<r)}$ besitzen genau 8 Teiler (nämlich 1, p, q, r, pq, pr, qr und pqr). Allgemein gilt: Wenn n quadratfrei und Produkt von k Primzahlen ist, dann hat n genau ${\displaystyle 2^{k}}$ Teiler (1 und n mitgerechnet). Sphenische Zahlen sind per definitionem quadratfrei (haben also ${\displaystyle 2^{3}}$ Teiler). Die Möbiusfunktion ergibt für jede sphenische Zahl −1. Eine berühmte sphenische Zahl ist die Hardy-Ramanujan-Zahl 1729 = ${\displaystyle 7\cdot 13\cdot 19.}$ Die sphenische Zahl ${\displaystyle 1001=7\cdot 11\cdot 13}$ nützt gelegentlich bei Teilbarkeitsüberlegungen.

Die ersten sphenischen Zahlen lauten: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, …^[2]

Die derzeit (2018) größte bekannte sphenische Zahl ist ${\displaystyle (2^{74.207.281}-1)\cdot (2^{77.232.917}-1)\cdot (2^{82.589.933}-1),}$ das Produkt der drei größten bekannten Primzahlen.

1. ↑ Oeconomische Encyclopädie online
2. ↑ Folge A007304 in OEIS