Studentisierung

Unter Studentisierung oder Studentisieren (nach dem Pseudonym „Student“ des Statistikers William Sealy Gosset) versteht man in der mathematischen Statistik eine Transformation der Realisierungen einer Zufallsvariablen, so dass die resultierenden Werte das arithmetische Mittel Null und die empirische Varianz Eins besitzen. Da die empirische Standardabweichung der Wurzel der Stichprobenvarianz entspricht, ist sie auch gleich Eins.

Studentisieren ist z. B. notwendig, um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu können.

Sind ${\displaystyle x_{i}}$ die ${\displaystyle n}$ Realisierungen einer Zufallsvariable mit arithmetischem Mittel ${\displaystyle {\overline {x}}}$, so erhält man die zugehörigen studentisierten Werte ${\displaystyle z_{i}}$, indem man das arithmetische Mittel subtrahiert und durch die Stichprobenstandardabweichung teilt:

${\displaystyle z_{i}={\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k}\left(x_{k}-{\overline {x}}\right)^{2}}}}}$

Für die so erhaltenen Werte gilt:

• arithmetisches Mittel: ${\displaystyle {\overline {z}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}{z_{i}}=0}$
• Stichprobenvarianz: ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i}\left(z_{i}-{\overline {z}}\right)^{2}=1}$.

In vielen Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica ist die Möglichkeit des Studentisierens der Messergebnisse bereits eingebaut. Oft wird hierbei fälschlicherweise der Begriff des Standardisierens verwendet, bei der eigentlich eine Zufallsvariable selbst – und nicht deren Realisierungen – auf Erwartungswert Null und Varianz Eins transformiert wird. Meistens wird von Standardisieren gesprochen, auch wenn in statistischen Auswertungen eigentlich Studentisieren gemeint ist.