Wendepunkt

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einer Kurve, an dem diese ihr Krümmungsverhalten ändert. Sie wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Ein wichtiger Spezialfall sind Wendepunkte von Funktionsgraphen, die im Folgenden betrachtet werden. Die Ermittlung der Wendepunkte eines Funktionsgraphen ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Die erste Abbildung zeigt ein Beispiel dazu: Hier ist der Funktionsgraph (blau) links vom Punkt W rechtsgekrümmt („Rechtskurve“) und rechts vom Punkt W linksgekrümmt („Linkskurve“). Demnach ist W ein Wendepunkt.

Die ${\displaystyle x}$-Koordinate eines Wendepunkts nennt man häufig Wendestelle (z. B. mit ${\displaystyle x_{W}}$ bezeichnet). Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Ist die gegebene Funktion ${\displaystyle f}$ zweimal differenzierbar, so nimmt an einer Wendestelle die Steigung des Funktionsgraphen, also die Ableitung ${\displaystyle f\,'(x)}$, einen Extremwert (ein lokales Minimum oder Maximum) an. Daher erfolgt die rechnerische Bestimmung von Wendestellen meist dadurch, dass man die zweite Ableitung ${\displaystyle f\,''(x)}$, also die Ableitung der Ableitung, gleich null setzt. In Abschnitten mit Linkskrümmung gilt ${\displaystyle f\,''(x)>0}$, in Abschnitten mit Rechtskrümmung ${\displaystyle f\,''(x)<0}$. Genaueres ist den Ausführungen über notwendige und hinreichende Kriterien für Wendepunkte zu entnehmen.