Diagonala matrico

En lineara algebro, diagonala matrico estas kvadrata matrico en kiu la elementoj ekster la ĉefdiagonalo estas ĉiuj nulaj. La diagonalaj elementoj povas esti aŭ ne esti nulaj. Tiel, matrico D = (d_i,j) kun n kolumnoj kaj n linioj estas diagonala se:

${\displaystyle d_{i,j}=0{\mbox{ se }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

Skribmaniero uzata estas diag(d₁,...,d_n) por diagonala matrico kies diagonalaj elementoj startante de la supra maldekstre angulo estas d₁,...,d_n.

Ekzemple, jena matrico estas diagonala:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&0\\0&-5&0\\0&0&6\end{bmatrix}}}$ = diag (2, -5, 6) .

La termino diagonala matrico povas iam esti uzata por ortangula diagonala matrico, kiu estas m-per-n matrico kie nur la elementoj de la formo d_i,i povas esti ne nulaj, ekzemple,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&4&0\\0&0&2\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ aŭ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}8&0&0&0&0\\0&7&0&0&0\\0&0&-1&0&0\end{bmatrix}}}$ .

Tamen, en la resto de ĉi tiu artikolo ni estos konsiderantaj nur kvadrataj matricoj.

Ĉiu diagonala matrico estas ankaŭ simetria matrico. Ankaŭ, se la elementoj estas de la kampo R aŭ C, tiam ĝi estas normala matrico.

Ekvivalente, oni povas difini diagonalan matricon kiel matrico kiu estas samtempe supra triangula matrico kaj suba triangula matrico.

La identa matrico I_n kaj ĉiu kvadrata nula matrico estas diagonala. Unu-dimensia matrico estas ĉiam diagonala.

Diagonala matrico kun ĉiuj ĝiaj ĉefdiagonalaj elementoj la samaj estas skalara matrico, ĝi estas skalaro multiplikita je identa matrico λI. Ĝia efiko sur vektoro estas la sama kiel de skalara multipliko per λ. La skalaraj matricoj estas la centroj de la algebro de matricoj, alivorte ili estas matricoj kiuj komutiĝas kun ĉiuj kvadrataj matricoj de la sama amplekso.