Duedra simetrio en tri dimensioj

Duedra simetrio en tri dimensioj estas 3 malfiniaj serioj de punktaj grupoj en tri dimensioj kiuj havas geometriajn simetriajn grupojn kiuj kiel abstraktaj grupoj estas duedraj grupoj Dih_n ( n ≥ 2 ).

La simetrioj estas

• Nememspegulsimetria:
  • D_n (22n) de ordo 2n - duedra simetrio (la abstrakta grupo estas duedra grupo D_n)
• Memspegulsimetria:
• D_nh (*22n) de ordo 4n - prisma simetrio (la abstrakta grupo estas D_n × C₂)
  • D_nd (aŭ D_nv) (2*n) de ordo 4n - kontraŭprisma simetrio (la abstrakta grupo estas D_2n)

Por donita n, ĉiuj tri simetrioj havas n-oblan turnan simetrion ĉirkaŭ unu akso turno je angulo 360°/n ne ŝanĝas la objekton), kaj n 2-oblajn turnajn simetriojn ĉirkaŭ aksoj perpendikularaj al la n-obla akso. Por n = ∞ la simetrioj esti konformaj al tri frisaj grupoj.

En 2D la geometria simetria grupo D_n inkluzivas reflektojn de linioj. Kiam la 2D ebeno estas enigita horizontale en 3D spacon, tia reflekto povas ĉu esti vidata kiel reflekto de vertikala ebeno, aŭ kiel turno ĉirkaŭ la reflekta linio je 180°. En 3D la du operacioj estas malsamaj: la grupo D_n enhavas nur turnojn, ne reflektojn. La simila grupo kiu enhavas nur reflektojn estas piramida simetrio C_nv de la sama ordo.

Simetrio D_nh (*22n) havas ankaŭ reflektan simetrion de ebeno perpendikulara al la n-obla turna akso.

D_nd (aŭ D_nv) havas vertikalajn spegulajn ebenojn inter la horizontalaj turnado aksoj (ne tra ili). Kiel rezulto la vertikala akso estas 2n-obla turnoreflekta akso.

D_nh estas la geometria simetria grupo por regula n-latera prismo kaj regula n-latera dupiramido. D_nd estas la geometria simetria grupo por regula n-latera kontraŭprismo, kaj n-latera kajtopluredro. D_n estas la geometria simetria grupo de parte turnita prismo.

Okazo n=1 ne estas inkluzivata ĉi tie ĉar la tri simetrioj estas egalaj al aliaj aĵoj:

• D₁ kaj C₂: grupo de ordo 2 kun sola 180° turno
• D_1h kaj C_2v: grupo de ordo 4 kun reflekto en ebeno kaj 180° turno tra linio en la ebeno
• D_1d kaj C_2h: grupo de ordo 4 kun reflekto en ebeno kaj 180° turno tra linio perpendikulara al la ebeno

Por n=2 ne ekzistas unu ĉefa akso kaj du aldonaj aksoj, sed estas tri ekvivalentaj aksoj.

• D₂ (222) de ordo 4 estas unu el la tri geometriaj simetriaj grupoj kun la kvar-grupo de Klein kiel abstrakta grupo. Ĝi havas tri perpendikulajn 2-oblajn turnajn aksojn. Ĝi estas la geometria simetria grupo de paralelepipedo kun litero "S" skribita sur centroj de du kontraŭaj edroj en la sama orientiĝo (la litero forigas la reflektajn simetriojn).
• D_2h (*222) de ordo 8 estas la geometria simetria grupo de paralelepipedo kun 3 malsamaj longoj de lateroj.
• D_2d (2*2) de ordo 8 estas la geometria simetria grupo de:
  • Kvadrata prismo kun alto ne egala al latero de la bazo kaj kun diagonalo desegnita sur unu kvadrata bazo, kaj kun perpendikulara diagonalo sur la alia bazo;
  • Egaledra tetraedro aŭ izocela kvaredro, kiu estas la regula kvaredro skalita direkte de linio konektanta la mezpunktojn de du kontraŭaj randoj (D_2d estas subgrupo de kvaredra simetrio T_d, la skaliga reduktas la simetrion.