Serio de Laurent

En matematiko, la serio de Laurent de kompleksa funkcio f(z) estas prezento de la funkcio kiel potencoserio kiu inkluzivas termojn ankaŭ de negativa grado. Ĝi povas esti uzata por esprimi kompleksan funkcion en okazoj en kiuj serio de Taylor ne povas esti uzata.

La serio de Laurent por kompleksa funkcio f(z) ĉirkaŭ punkto c

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

kie la a_n estas konstantoj difinitaj per kurba integralo kiu estas ĝeneraligo de koŝia integrala formulo:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}}$

La vojo de integralado γ estas fermita ĉirkaŭa kontraŭhorloĝnadla rektifebla vojo sen sin-intersekcojn, enhavanta punkton c kaj kuŝanta en ringoformaĵo A en kiu f(z) estas holomorfa (analitika).

La elvolvaĵo por f(z) validas ĉie en ĉi tiu ringoformaĵo, simile al tio ke potencoserio de Taylor estas uzata por esprimi holomorfan funkcion difinitan sur disko.

En praktiko, ĉi tiu formulo estas malofte uzata ĉar la integraloj estas malfacilaj por kalkulado. Anstataŭe, oni tipe kreas la seriojn de Laurent per kombinado de sciata elvolvaĵoj de Taylor.

La nombroj a_n kaj c estas plej kutime prenita al esti kompleksaj nombroj, kvankam estas aliaj eblecoj, kiel priskribis pli sube.