Trafleksa punkto

En diferenciala kalkulo, trafleksa punkto aŭ punkto trafleksiĝo estas punkto de kurbo je kiu la kurbeco ŝanĝas signon. Trairante la punkton, la kurbo ŝanĝiĝas de estado konveksa suben (pozitiva kurbeco) al konveksa supren (negativa kurbeco), aŭ reen. Se oni imagas stiradon de veturilo laŭ la kurba vojo, la trafleksa punkto estas la punkto je kiu la stirilo estas momente je rekta pozicio estante turnata de maldekstre al dekstre aŭ reen.

Ĉiu el la jenaj kondiĉoj estas ekvivalenta al la pli supre donita difino:

• Punkto de kurbo je kiu la dua derivaĵo ŝanĝas signon. Ĉi tiu estas tre simila al la antaŭa difino, ĉar la signo de la kurbeco estas ĉiam la sama kiel la signo de la dua derivaĵo, kvankam la kurbeco estas ne la samo kiel la dua derivaĵo.
• Punkto (x, y) de grafikaĵo de funkcio f(x), je kiu la unua derivaĵo f'(x) estas je ekstremumo, kio estas minimumo aŭ maksimumo. Ĉi tio estas ne la samo kiel diraĵo ke y estas je ekstremumo.
• Punkto de kurbo je kiu la tanĝanta rekto krucigas la kurbon je ĉi tiu punkto. Por algebra kurbo, ĉi tio signifas ne singularan punkton kie obleco de la tanĝanta rekto al la kurbo estas pli granda ol 2.

Pro tio ke en trafleksa punkto la unua derivaĵo estas je sia ekstremumo, do la dua derivaĵo f' '(x) estas egala al nulo se ĝi ekzistas, sed la lasta kondiĉo ne estas sufiĉa por difini ĉu la punkto estas trafleksa. Bezonatas ankaŭ ke la de plej suba ordo ne-nula derivaĵo estu de nepara ordo (tria, kvina, kaj tiel plu). Se la de plej suba ordo ne-nula derivaĵo estas de para ordo, la punkto ne estas trafleksa punkto, ekzemplo de la lasta okazo estas funkcio y = x⁴ je x=0.

Iuj funkcioj ŝanĝas konkavecon ne havante trafleksajn punktojn. Ekzemple, la funkcio 2x²/(x²-1) estas konveksa suben por |x|>1 kaj konveksa supren por |x|<1. Tamen, ĝi ne havas trafleksajn punktojn ĉar 1 kaj -1 estas ne en la domajno de la funkcio.