Clausura algebraica

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Clausura algebraica» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 12 de abril de 2013.

En álgebra, la clausura algebraica (o cierre algebraico, del inglés algebraic closure) de un cuerpo ${\displaystyle K}$ es la extensión algebraica más pequeña de ${\displaystyle K}$ que es algebraicamente cerrada. Es una de las muchas complexiones que existen en matemáticas.

Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de ${\displaystyle K}$. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$, más que de una clausura algebraica de ${\displaystyle K}$.

La clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ puede pensarse como la mayor extensión algebraica de ${\displaystyle K}$. Para ver esto, nótese que si ${\displaystyle L}$ es cualquier extensión algebraica de ${\displaystyle K}$, entonces la clausura algebraica de ${\displaystyle L}$ es claramente también clausura algebraica de ${\displaystyle K}$, y así ${\displaystyle L}$ está contenida en la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$. La clausura algebraica de ${\displaystyle K}$ es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a ${\displaystyle K}$, ya que si ${\displaystyle M}$ es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a ${\displaystyle K}$, entonces los elementos de ${\displaystyle M}$ que son algebraicos sobre ${\displaystyle K}$ forman la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$.

La clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ tiene la misma cardinalidad que ${\displaystyle K}$ si ${\displaystyle K}$ es infinito, y es infinito numerable si ${\displaystyle K}$ es finito.

En el caso del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, su clausura algebraica es el cuerpo de los números complejos, ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En el caso del cuerpo de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, su clausura algebraica es un subcuerpo de los números complejos, llamado el cuerpo de los números algebraicos y denotado habitualmente por ${\displaystyle \mathbb {A} }$.