Conjunto dirigido

En matemáticas, un conjunto dirigido (o un preorden dirigido, o también conjunto filtrado) es un conjunto no vacío ${\displaystyle A}$ junto con una relación binaria reflexiva y transitiva ${\displaystyle \,\leq \,}$ (es decir, un conjunto preordenado), con la propiedad adicional de que cada par de elementos tiene una cota superior.^[1]​ En otras palabras, para cualquier ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ pertenecientes a ${\displaystyle A}$ debe existir un ${\displaystyle c}$ en ${\displaystyle A}$ con ${\displaystyle a\leq c}$ y ${\displaystyle b\leq c.}$ El preorden de un conjunto dirigido se denomina dirección.

La noción definida anteriormente a veces se denomina conjunto dirigido hacia arriba. Un conjunto dirigido hacia abajo se define de manera análoga,^[2]​ y se caracteriza porque cada par de elementos está acotado por abajo.^[3]​ Algunos autores (y en este artículo) suponen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Otros autores llaman a un conjunto dirigido si y solo si está dirigido tanto hacia arriba como hacia abajo.^[4]​

Los conjuntos dirigidos son una generalización de los conjuntos totalmente ordenados no vacíos. Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (a diferencia de los conjuntos parcialmente ordenados, que no necesita ser dirigido). Los semirretículos (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Asimismo, los retículos son conjuntos dirigidos tanto hacia arriba como hacia abajo.

En topología, los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes, que generalizan las sucesiones y unen las diversas nociones de límite utilizadas en análisis. Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta, y más generalmente, en teoría de categorías.

1. ↑ Kelley, p. 65.
2. ↑ Robert S. Borden (1988). A Course in Advanced Calculus. Courier Corporation. p. 20. ISBN 978-0-486-15038-3. 
3. ↑ Arlen Brown; Carl Pearcy (1995). An Introduction to Analysis. Springer. p. 13. ISBN 978-1-4612-0787-0. 
4. ↑ Siegfried Carl; Seppo Heikkilä (2010). Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications: From Differential and Integral Equations to Game Theory. Springer. p. 77. ISBN 978-1-4419-7585-0.