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Covarianza y contravarianza

Para el uso de la "covarianza" en el contexto de la relatividad especial, véase Covarianza de Lorentz.
Un vector      v, representado en términos de
Base tangente
     e1, e2, e3 como coordenadas sobre las curvas de color negro      (izquierda)
Base dual, base covectorial o base recíproca
     e1, e2, e3 como coordenadas de las superficies      (derecha)
en coordenadas curvilineas tridimensionales generales (q1, q2, q3), una tupla de números para definir un punto en un espacio de posiciones y momentos. Téngase en cuenta que la base y la cobase coinciden solo cuando la base es ortogonal.[1]​

En física, especialmente en el álgebra multilineal y en el análisis tensorial, la covarianza y la contravarianza describen cómo la caracterización cuantitativa de ciertas entidades geométricas o físicas se modifica cuando se produce un cambio de base.[2]​ Brevemente, un vector contravariante es una lista de números que se transforman de manera opuesta a un cambio de base, y un vector covariante es una lista de números que se transforman de acuerdo con un cambio de base. Los vectores contravariantes a menudo se denominan simplemente vectores y los vectores covariantes se denominan covectores o vectores duales. Los términos covariante y contravariante fueron introducidos por James Joseph Sylvester en 1851.[3]​[4]​

Los sistemas de coordenadas curvilíneos, como las coordenadas cilíndricas o las coordenadas esféricas, se utilizan a menudo en problemas físicos y geométricos. Asociada con cualquier sistema de coordenadas existe una elección natural de la base de coordenadas para los vectores basados en cada punto del espacio, y la covarianza y la contravarianza son particularmente importantes para comprender cómo cambia la descripción de las coordenadas de un vector al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Los tensores son objetos propios del álgebra multilineal que pueden tener aspectos tanto de covarianza como de contravarianza.

  1. ↑ Misner, C.; Thorne, K.S.; Wheeler, J.A. (1973). Gravitation. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. 
  2. ↑ Frankel, Theodore (2012). The geometry of physics : an introduction. Cambridge: Cambridge University Press. p. 42. ISBN 978-1-107-60260-1. OCLC 739094283. 
  3. ↑ Sylvester, J.J. (1851). «On the general theory of associated algebraical forms». Cambridge and Dublin Mathematical Journal 6. pp. 289-293. 
  4. ↑ Sylvester, J.J. University Press. The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester. 3, 1870–1883. ISBN 978-1107661431. OCLC 758983870. 
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