Elemento primo

En álgebra abstracta, un elemento de un anillo es primo si satisface una condición similar a la establecida por el lema de Euclides.

O condensando: Un elemento k no nulo y no invertible de un anillo R se llama primo, si cada vez que k divide al producto de dos elementos de R, también divide uno de sus factores. Se ve que si a es primo, entonces todo asociado de a es primo.^[1]​

Ejemplos:

2 es primo en el conjunto de los números enteros, pues si 2 divide a s×t, entonces s o t es par, sino de lo contrario el producto sería impar.

5 es primo en el conjunto ℤ de los enteros. Sea que 5 divide a s×t. Por otra parte, se asume que s =5j+m, t = 5k+l, donde 1≤l<5, 1≤m<5 luego st = 5(5jk+jl+km) +ml, de modo que 5 divide a ml . Lo que implica, debido a la desigualdades incluyentes a l y m, que ml = 0; luego m= 0 o bien l=0; y así 5 divide a s o 5 divide a t.

8 no es primo en Z, pues 8 divide a 4×6 y no divide a 4, tampoco a 6.

Esto es equivalente a la condición que el ideal principal generado por el elemento p sea un ideal primo distinto de cero.

1. ↑ "Curso de álgebra. Vol. I" de Abramo Hefez ( 2001) Lima, ISBN 9972-9394-1-3 pág.80