Factorial

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n!}$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
15	1.307.674.368.000
20	2.432.902.008.176.640.000
25	15.511.210.043.330.985.984.000.000
50	30.414.093.201.713.378.043 × 10^45
70	1,19785717... × 10^100
450	1,73336873... × 10^1000
3.249	6,41233768... × 10^10 000
25.206	1,205703438... × 10^100 000
100.000	2,8242294079... × 10^456 573
205.023	2,5038989316... × 10^1 000 004
1.000.000	8,2639316883... × 10^5 565 708
10^100	1,6294043324... × 10^10^101

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo:

${\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120.\ }$

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático.

De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático. El matemático francés Christian Kramp (1760-1826) fue la primera persona en usar la actual notación matemática n!, en 1808.^[1]​

Los factoriales han sido descubiertos en varias culturas antiguas, especialmente en las matemáticas indias en las obras canónicas de la literatura jainista, y por los místicos judíos en el libro talmúdico Sefer Yetzirah. La operación factorial se encuentra en muchas áreas de las matemáticas, sobre todo en combinatoria, donde su uso más básico cuenta las posibles secuencias distintas —las permutaciones— de ${\displaystyle n}$ objetos distintos: hay ${\displaystyle n!}$. En análisis matemático, los factoriales se utilizan en series de potencias para la función exponencial y otras funciones, y también tienen aplicaciones en álgebra, teoría de números, teoría de la probabilidad e informática.

Gran parte de la matemática de la función factorial se desarrolló a partir de finales del siglo XVIII y principios del XIX.

La aproximación de Stirling proporciona una aproximación exacta al factorial de los grandes números, demostrando que crece más rápidamente que el crecimiento exponencial. La fórmula de Legendre describe los exponentes de los números primos en una factorización prima de los factoriales, y puede utilizarse para contar los ceros finales de los factoriales. Daniel Bernoulli y Leonhard Euler interpolaron la función factorial a una función continua de números complejos, excepto en los enteros negativos, la función gamma (compensada).

Muchas otras funciones notables y secuencias de números están estrechamente relacionadas con los factoriales, incluyendo el coeficiente binomial, doble factorial, factorial descendente, primorial, y subfactorial. Las implementaciones de la función factorial se utilizan habitualmente como ejemplo de diferentes estilos de programación informática, y se incluyen en calculadoras científicas y bibliotecas de software de cálculo científico. Aunque calcular directamente factoriales grandes utilizando la fórmula del producto o la recurrencia no es eficiente, se conocen algoritmos más rápidos, que igualan con un factor constante el tiempo de los algoritmos de multiplicación rápidos para números con el mismo número de dígitos.

1. ↑ Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 .