Factoriales descendente y ascendente

El factorial descendente^[1]​ (a veces llamado producto secuencial descendente o factorial inferior) es un operador matemático que se define como

${\displaystyle (x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).}$

El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer, producto secuencial ascendente,^[1]​ o factorial superior) se define a su vez como

${\displaystyle x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).}$

El valor de ambos se toma como 1 (un producto vacío) cuando n = 0.

El símbolo de Pochhammer, introducido por el matemático prusiano Leo August Pochhammer (1841-1920), es la notación (x)_n, donde n es un número natural. Dependiendo del contexto, el símbolo de Pochhammer puede representar el factorial ascendente o el factorial descendente tal como se definió anteriormente. Se debe tener cuidado para verificar qué interpretación se está utilizando en cada artículo en particular. Pochhammer en realidad utilizó la notación (x)_n con otro significado, a saber, denotar el coeficiente binomial ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$.^[2]​

En este artículo, el símbolo (x)_n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x⁽ⁿ⁾ se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se usan en combinatoria.^[3]​ En la teoría de funciones especiales (en particular, en la función hipergeométrica), el símbolo de Pochhammer (x)_n se usa para representar el factorial ascendente.^[4]​ Una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en esta última notación se da en (Slater, 1966, Appendix I). Knuth usa el término potencias factoriales para abarcar factoriales ascendentes y descendentes.^[5]​

Cuando x es un entero no negativo, (x)_n da el número de n-permutaciones de un conjunto de elementos x, o equivalentemente, el número de posibles funciones injectivas de un conjunto de tamaño n sobre un conjunto de tamaño x. Sin embargo, para estos significados, otras notaciones como _xP_n y P (x, n) se usan comúnmente. El símbolo de Pochhammer sirve principalmente para usos más algebraicos, por ejemplo cuando x es una variable indeterminada, en cuyo caso (x)_n designa un polinomio particular de grado n en x.

1. ↑ ^{a b} Steffensen, J. F., Interpolation (2nd edición), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 . (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
2. ↑ Knuth, Donald E. (1992), «Two notes on notation», American Mathematical Monthly 99 (5): 403-422, JSTOR 2325085, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085 .. La reseña acerca del símbolo de Pochhammer figura en la página 414.
3. ↑ Olver, 1999, p. 101
4. ↑ Como es el caso en la obra de Abramowitz y Stegun titulada "Handbook of Mathematical Functions", P. 256
5. ↑ Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.