N-esfera

En matemáticas, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, denotada en general como ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Desde un punto de vista analítico, una n-esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una n-esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo (n+1)-dimensional que se encuentran a una distancia constante r respecto a un punto fijo, llamado centro. Cuando la esfera tiene un radio unidad, es habitual llamarla n-esfera unidad, o simplemente n-esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, una n-esfera se define como

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

y una n-esfera de radio r se puede definir como

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

La 0-esfera es un par de puntos sobre una recta a una unidad de distancia del origen, la 1-esfera es una circunferencia en el plano y la 2-esfera es una esfera ordinaria dentro del espacio tridimensional.

La dimensión de una n-esfera es n, y no debe confundirse con la dimensión (n+1) del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida. Una n-esfera es la superficie o límite de una bola (n+1) dimensional.

En particular:

• El par de puntos en los extremos de un segmento (unidimensional) es una 0-esfera
• Un circunferencia, que es el contorno unidimensional de un círculo (bidimensional), es una 1-esfera
• La superficie bidimensional de una bola (tridimensional) en un espacio tridimensional es una 2-esfera, a menudo simplemente llamada esfera
• La frontera tridimensional de una 4-bola (cuatro dimensiones) en el espacio euclídeo tetradimensional, es un 3-esfera, también conocida como glomo
• El límite (n–1)-dimensional de una n-bola (n-dimensional) es una (n–1)-esfera.

Para n≥2, las n-esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades n-dimensionales conexas de curvatura constante y positiva. Las n-esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos n-dimensionales, identificando el límite de un n-cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una (n-1)-esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es una circunferencia, que no es simplemente conexa. La 0-esfera es la 0-variedad que consta de dos puntos, que ni siquiera es conexa.