Polinomio irreducible

En teoría de Anillos, dado un dominio de integridad R, un polinomio ${\displaystyle p(x)\in R[x]}$ no nulo y no unidad (es decir, sin inverso multiplicativo en R[x]) se dice irreducible si en cualquier factorización de la forma ${\displaystyle p(x)=q(x)r(x)}$ en el dominio ${\displaystyle R[x]}$, uno de los poliniomios ${\displaystyle q(x)}$ o ${\displaystyle r(x)}$ es unidad. Cuando el dominio de integridad en cuestión es un campo, el que ${\displaystyle p(x)}$ sea un elemento irreducible de ${\displaystyle R[x]}$ equivale a que este no pueda factorizarse como el producto de dos polinomios de grado menor estricto al suyo. Es decir, si ${\displaystyle p=r\cdot q}$ entonces ha de ser ${\displaystyle r\in R}$ o ${\displaystyle q\in R}$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).