Producto libre de grupos

En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen.

Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo ${\displaystyle G*H}$ que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{r}h_{r}}$

donde los ${\displaystyle g_{i}\in G}$ y los ${\displaystyle h_{i}\in H}$ es decir los elementos de G*H son palabras reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente.

Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H.

Un ejemplo básico es el grupo libre, ${\displaystyle F_{2}}$ de rango dos; este, se puede interpretar como

${\displaystyle F_{2}=\mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$

Otro un poco más complejo es ${\displaystyle PSL(\mathbb {Z} ,2)}$ que se interpreta como

${\displaystyle PSL(\mathbb {Z} ,2)=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}}$