Producto tensorial

En matemáticas, el producto tensorial, denotado por ${\displaystyle \otimes }$, se puede aplicar en diversos contextos a vectores, matrices, tensores y espacios vectoriales. En cada caso, el significado del símbolo es el mismo: la operación bilineal más general.

Un caso representativo de producto tensorial es el producto de Kronecker de dos vectores cualesquiera, por ejemplo:

${\displaystyle {\vec {a}}\otimes {\vec {b}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}&a_{1}b_{4}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}&a_{2}b_{4}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}},\ {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3},\ {\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{4}}$

cuyo resultado es una matriz de tamaño 3x4 y de rango 1 si ambos vectores son no nulos, y de rango 0 en caso contrario.

En este ejemplo el rango denota el número de índices indispensables, mientras que la dimensión cuenta el número de grados de libertad en la matriz que resulta.