Recta de Euler

La recta de Euler es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo;^[1]​ incluye al punto de Exeter y al centro de la circunferencia de los nueve puntos notables de un triángulo escaleno. Se denomina así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765. Además, él fue quien introdujo el concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para referirse a la función f aplicada al argumento x.^[2]​

La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»

H. S. M. Coxeter en relación al trabajo de Euler.^[3]​

Euler demostró que en cualquier triángulo el ortocentro, el circuncentro y el baricentro están alineados. Esta propiedad amplía su dominio de verdad para el centro de la circunferencia de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro de la circunferencia de los nueve puntos notables se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia desde el centroide del circuncentro ${\displaystyle {\overline {GO}}}$ es la mitad que desde el centroide hasta el ortocentro ${\displaystyle {\overline {GH}}}$.

Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps, el punto Schiffler, el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler solo para triángulos isósceles.

1. ↑ Fauring- Gutiérrez-Pedraza. Problemas de entrenamiento. Red Olímpica, Buenos Aires (2000) ISBN 987-9072-31-6
2. ↑ https://soymatematicas.com/que-sabes-de-euler/#:~:text=Euler%20intodujo%20el%20concepto%20de,conoce%20como%20n%C3%BAmero%20de%20Euler).
3. ↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969). «1. Triángulos». Fundamentos de Geometry (Introduction to Geometry) (2a edición). Limusa-Wiley. ISBN 978-0471504580.