Suma directa

La suma directa es una operación entre estructuras en álgebra abstracta, una rama de las matemáticas. Se define de manera diferente, pero análoga, para diferentes tipos de estructuras. Para ver cómo se utiliza la suma directa en álgebra abstracta, considérese un tipo de estructura más elemental, un grupo abeliano. La suma directa de dos grupos abelianos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ es otro grupo abeliano ${\displaystyle A\oplus B}$ que consta de los pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$, donde ${\displaystyle a\in A}$ y ${\displaystyle b\in B}$. Para sumar pares ordenados, se define la suma ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ como ${\displaystyle (a+c,b+d)}$. En otras palabras, la suma se define en forma de coordenadas. Por ejemplo, la suma directa ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ (donde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es el espacio coordenado real), es el sistema de las coordenadas cartesianas ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Se puede utilizar un proceso similar para formar la suma directa de dos espacios vectoriales o de dos módulos.

También se pueden formar sumas directas con cualquier número finito de sumandos, por ejemplo ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$, siempre que ${\displaystyle A,B,}$ y ${\displaystyle C}$ sean los mismos tipos de estructuras algebraicas (por ejemplo, que sean todos grupos abelianos o que sean todos espacios vectoriales). Esto se basa en el hecho de que la suma directa es asociativa excluyendo isomorfismos. Es decir, ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ para cualquier estructura algebraica ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ y ${\displaystyle C}$ del mismo tipo. La suma directa también es conmutativa excluyendo isomorfismos, es decir, ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ para cualquier estructura algebraica ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ del mismo tipo.

La suma directa de un número finito de grupos, espacios vectoriales o módulos abelianos es canónicamente isomorfa al producto directo correspondiente. Sin embargo, esto es falso para algunos objetos algebraicos, como los grupos no abelianos.

En el caso de que se combinen infinitos objetos, la suma directa y el producto directo no son isomorfos, ni siquiera para grupos abelianos, espacios vectoriales o módulos. Como ejemplo, considérese la suma directa y el producto directo de infinitas (pero numerables) copias de los números enteros. Un elemento en el producto directo es una secuencia infinita, como (1,2,3,...) pero en la suma directa, existe el requisito de que todas las coordenadas, excepto un número finito, sean cero, por lo que la secuencia (1,2 ,3,...) sería un elemento del producto directo pero no de la suma directa, mientras que (1,2,0,0,0,...) sería un elemento de ambos. A menudo, si se usa un signo +, todas las coordenadas excepto un número finito deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas menos un número finito deben ser 1. En un lenguaje más técnico, si los sumandos son ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$, la suma directa :${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ se define como el conjunto de tuplas ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ con ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ tales que ${\displaystyle a_{i}=0}$ para todas menos un número finito de i. La suma directa ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ está contenida en el producto directo ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, pero es estrictamente menor cuando el conjunto índice ${\displaystyle I}$ es infinito, porque un elemento del producto directo puede tener infinitas coordenadas distintas de cero.^[1]​

1. ↑ Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, ISBN 0387905189