Tee (topoloogia)

Topoloogias nimetatakse teeks (või mõnikord parametriseeritud jooneks) topoloogilises ruumis X pidevat kujutust f ühiklõigust I = [0,1] (mõnikord ka mis tahes lõigust, sel juhul samastatakse tee parametriseeritud joonega) ruumi X

f : I → X.

Tee alguspunkt on f(0), tee lõpp-punkt on f(1). Sageli räägitakse "teest punktist x punkti y", kus x ja y on tee algus- ja lõpp-punkt. Tee ei ole lihtsalt ruumi X alamhulk, mis "näeb välja nagu" joon, vaid kätkeb ka parametriseeringut. Näiteks kujutused f(x) = x ja g(x) = x² tekitavad kaks erinevat teed 0-st 1-ni reaalsirgel.

Aas ruumis X baaspunktiga x ∈ X on tee punktist x punkti x. Aasa võib defineerida ka kujutusena f : I → X, mille korral f(0) = f(1), või pideva kujutusena ühikringjoonelt S¹ ruumi X

f : S¹ → X.

Viimane tuleneb sellest, et ruumi S¹ võib pidada ruumi I faktorruumiks 0 ja 1. Kõigi aasade hulk ruumis X moodustab ruumi, mida nimetatakse ruumi X aasruumiks ^[1].

Topoloogilist ruumi, mille mis tahes kaht punkti ühendab tee, nimetatakse lineaarselt sidusaks. Iga ruumi saab lahutada lineaarselt sidusateks komponentideks. Ruumi X lineaarselt sidusate komponentide hulka tähistatakse sageli π₀(X).

Teed ja aasad saab defineerida ka punkteeritud ruumidel, mis on olulised homotoopiateoorias. Kui X on topoloogiline ruum fikseeritud punktiga x₀, siis tee ruumis X on tee, mille alguspunkt on x₀. Samamoodi on aas ruumis X aas punktis x₀.