Espazio euklidear

Espazio euklidearra geometriaren oinarrizko espazioa da, espazio fisikoa irudikatzera bideratua dagoena. Jatorrian, Euklidesen Elementuak liburuan, geometria euklidearraren espazioa hiru dimentsioko espazioa zen; baina, matematika modernoan, edozein zenbaki oso positibotako dimentsioko espazio euklidearrak daude. Espazio hauek espazio n-euklidearrak deitzen dira, eta haien dimentsioa n-ren arabera zehatz daiteke. Espazio 1-euklidearrari lerro euklidearra deitu ohi zaio; espazio 2-euklidearrari, plano euklidearra. "Euklidear" kalifikatzailea geroago fisika eta matematika modernoan kontsideratu ziren bestelako espazio (ez-euklidearretatik) bereizteko erabiltzen da.

Antzinako Greziako geometrialariek espazio euklidearra sortu zuten espazio fisikoa irudikatzeko. Lan hori Euklides antzinako matematikari greziarrak jaso zuen bere Elementuak liburuan. Lan horren berrikuntzarik handiena honako hau da: espazioren propietate guztiak teorema gisa frogatu zituen Euklidesek, postulatu deituriko funtsezko propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Postulatu horietako batzuk begibistakotzat hartu ziren (adibidez, bi puntu ezberdinetatik zuzen bakar bat pasatzen dela), eta beste batzuek frogaezinak ziruditen (paraleloen postulatua, esate baterako).

Funtsean, dimentsio bakoitzeko espazio euklidear bakarra dago, hau da, dimentsio jakin bateko espazio euklidear guztiak isomorfoak dira. Beraz, oro har, dimentsio bakoitzeko, posible da espazio euklidear espezifiko batekin lan egitea. Espazio hori, ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ sinboloz denotatua, koordenatu kartesiarrak erabiliz irudika daiteke, eta biderketa eskalar estandarraz hornitutako n-espazio erreal bezala izango da: ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}=(\mathbb {R} ^{n},\cdot )}$.