Algebrallinen funktio

Algebrallinen funktio on matematiikassa sellainen funktio ${\displaystyle y=f(x)}$, joka voidaan määritellä yhtälöllä, jossa jokin muuttujista x ja y riippuva polynomi on asetettu nollaksi.^[1]. Toisin sanoen funktio voidaan esittää jonkin x:stä ja y:stä riippuvan polynomiyhtälön p(x,y) = 0 ratkaisuna.

Monet algebralliset funktiot voidaan esittää algebrallisena lausekkeina, jotka voidaan muodostaa muuttujasta ja äärellisestä määrästä vakioita pelkästään algebrallisten operaatioiden, toisin sanoen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun sekä juurenoton avulla. Sellaisia funktioita ovat esimerkiksi:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Abelin–Ruffinin lause osoittaa kuitenkin, että on olemassa myös algebrallisia funktioita, joita ei voida tällä tavoin muodostaa. Sellainen on esimerkiksi Bringin radikaali, joka on lausekkeen

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

määrittelemä implisiittifunktio.

Täsmällisemmin ilmaistuna yhden muuttujan (x') n:nnen asteen algebrallinen funktio on funktio ${\displaystyle y=f(x),}$ joka on jatkuva määrittelyjoukossaan ja joka toteuttaa polynomiyhtälön

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

missä kertoimet ${\displaystyle a_{i}(s)}$ ovat x:n polynomifunktioita, joissa kertoimet ovat kokonaislukuja. Voidaan osoittaa, että sama funktioluokka saadaan, jos kertoimiksi ${\displaystyle a_{i}}$ hyväksytään mitkä tahansa algebralliset luvut. Jos kertoimina esiintyy transkendenttilukuja, funktio ei yleensä ole algebrallinen, mutta sen sanotaan olevan algebrallinen näiden kertoimien virittämän kunnan suhde.

Kun algebrallisen funktion argumentti on rationaaliluku tai mikä tahansa algebrallinen luku, funktion arvo on aina algebrallinen luku. Toisinaan tarkastellaan kertoimia ${\displaystyle a_{i}<(x)}$, jotka ovat jonkin renkaan R polynomeja, ja niitä sanotaan R:n algebrallisiksi funktioiksi.

Funktioita, jotka eivät ole algebrallisia, sanotaan transkendenttifunktioiksi^[1]. Sellaisia ovat esimerkiksi eksponenttifunktio ${\displaystyle e^{x}}$, trigonometriset funktiot kuten ${\displaystyle \sin x}$ ja ${\displaystyle \cos x}$, logaritmifunktio ${\displaystyle \ln x}$ ja gammafunktio ${\displaystyle \Gamma (x)}$. Transkendenttistenkin funktioiden yhdistetty funktio saattaa olla algebrallinen: esimerkiksi ${\displaystyle f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Koska n:nnen asteen polynomiyhtälöllä on enintään n ratkaisua (ja tasan n ratkaisua, jos kyseessä on algebrallisesti suljettu kunta, esimerkiksi kompleksilukujen kunta), polynomiyhtälö ei implisiittisesti määrittele vain yhtä funktiota, vaan enintään n funktiota, joita toisinaan sanotaan funktion haaroiksi. Tarkastellaan esimerkkinä yksikköympyrää:

${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$

Tässä kutakin välillä -1 < x < 1 olevaa x:n arvoa kohti on kaksi y:n arvoa, jotka ovat toistensa vastalukuja. Niinpä yhtälö määrittelee kaksi haaraa:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Vastaavasti m muuttujan algebrallinen funktio määritellään funktiona

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$

joka on m + 1 muuttujan polynomiyhtälön

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

ratkaisu.^[2]

Yleensä edellytetään, että p:n on oltava jaoton polynomi.^[2] Siinä tapauksessa algebrallisen funktion olemassaolon takaa implisiittifunktiolause.

Muodollisesti m muuttujan algebrallinen funktio kunnassa K on rationaalilukujen kunnan algebrallisen sulkeuman K(x₁, ..., x_m) alkio.

1. ↑ ^{a b} ”Funktio”, Iso tietosanakirja, 3. osa (Edmund-Gottfield, s. 1044. Otava.
2. ↑ ^{a b} Algebraic function Encyclopedia of Mathematics. Viitattu 14.7.2022.