Algebrallinen luku

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua ${\displaystyle a}$, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin ${\displaystyle P(x)}$ nollakohta eli toteuttaa yhtälön ${\displaystyle P(a)=0}$. Polynomin

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Z} ,k=1,\dotsc ,n}$ poikkeaa nollasta. Jos vain ${\displaystyle a_{0}}$ poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.^[1]

Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on ${\displaystyle 1}$ ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.^[2][3]

Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi ${\displaystyle x-a}$. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.^[3][4]

Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.^[5]

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww5 ei löytynyt
2. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww7 ei löytynyt
3. ↑ ^{a b} Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä mj ei löytynyt
4. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä ww6 ei löytynyt
5. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä mj3 ei löytynyt