Avoin ja suljettu kuvaus

Tämän artikkelin tai sen osan määritelmä puuttuu tai on huonosti laadittu. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelin määritelmää. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. Tarkennus: Maallikko ei ymmärrä lukion pitkän matikan perusteella yhtään mitään.

Avoin kuvaus on sellainen kahden topologisen avaruuden välinen kuvaus, jossa jokaisen avoimen joukon kuva on avoin.^[1] Vastaavasti suljettu kuvaus on sellainen kahden topologisen avaruuden välinen kuvaus, jossa jokaisen suljetun joukon kuva on suljettu.^[1] Samakin kuvaus voi olla sekä avoin että suljettu tai olematta kumpaakaan, mutta avoimen kuvauksen ei välttämättä tarvitse olla suljettu eikä päinvastoin.^[2] Avaruuksien välinen bijektio kuitenkin on avoin kuvaus, jos se ja vain jos se on myös suljettu.^[2]

Avoimen ja suljetun kuvauksen määritelmiä voidaan verrata eräisiin jatkuvan kuvauksen kriteereihin. Kuvaus on jatkuva, jos ja vain jos siinä jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin joukko, mikä on myös yhtäpitävää sen kanssa, että jokaisen suljetun joukon alkukuva on suljettu joukko.^[3] Avoimet^[4] ja suljetut^[5] kuvaukset eivät kuitenkaan välttämättä ole jatkuvia.^[6] Yleisessä tapauksessa kuvaus voi olla jatkuva tai ei-jatkuva riippumatonta siitä, onko se myös avoin, suljettu tai molempia^[7]; näin on laita siinäkin tapauksessa, että rajoitutaan käsittelemään vain metrisiä avaruuksia tapauksessa.^[8] Vaikka avoin ja suljettu kuvaus saattavat määritelmiensä perusteella vaikuttaa luonnollisemmilta käsitteiltä kuin jatkuva kuvaus, jatkuvuus on topologiassa ja muillakin matematiikan aloilla paljon tärkeämpi käsite.

Avoimia kuvauksia tutki tiettävästi ensimmäisenä Simion Stoilow ja myöhemmin perusteellisemmin Gordon Thomas Whyburn.^[9]

1. ↑ ^{a b} Jussi Väisälä: ”Topologisen avaruuden kuvaukset”, Topologia II, s. 12. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
2. ↑ ^{a b} Gregory L. Naber: ”Exercice 1-19”, Topological Methods in Euclidean Spaces, s. 18. Courier Corporation, 2012. ISBN 9780486153445
3. ↑ Jussi Väisälä: ”Topologisen avaruuden kuvaukset”, Topologia II, s. 11. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
4. ↑ Bert Mendelson: Introduction to Topology, 3rd edition, s. 89. Dover, 1990. ISBN 978-048613509-0
5. ↑ Johann Boos: Classical and Modern Methods in Summability, s. 332. Oxford University Press, 2000. 0-19-850165-X
6. ↑ Andrei Ludu: Nonlinear Waves and Solitons on Contours and Closed Surfaces, s. 15. Springer Series in Synergetics. ISBN 9783642228940
7. ↑ John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, s. 550. nro 218 Springer Science & Business Media, 2003. ISBN 9780387954486
8. ↑ Carlos S. Kubrusly: The Elements of Operator Theory, s. 115. Springer Science & Business Media, 2011. ISBN 9780817649982
9. ↑ K. P Hart, J. Nagata, J. E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology, s. 86. Elsevier, 2004. ISBN 0-444-50355-2