Cauchy-jakauma

Cauchy-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	${\displaystyle x_{0}\!}$ lokaatio (reaaliluku) γ > 0 skaala (reaaliluku)
Määrittelyjoukko	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
Odotusarvo	ei ole
Mediaani	${\displaystyle x_{0}\!}$
Moodi	${\displaystyle x_{0}\!}$
Varianssi	ei ole
Vinous	ei määritelty
Huipukkuus	ei määritelty
Entropia	${\displaystyle \log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!}$
Momentit generoiva funktio	ei ole
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$

Cauchy-jakauma (Cauchyn jakauma) on Augustin Cauchyn mukaan nimetty jatkuva todennäköisyysjakauma. Varsinkin fysikaalisissa sovelluksissa sitä nimitetään myös Lorentzin jakaumaksi (Hendrik Lorentzin mukaan),^[1] Cauchyn–Lorentzin jakaumaksi tai Breitin–Wignerin jakaumaksi. Yksin­kertaisinta Cauchy-jakaumaa sanotaan standardiksi Cauchy-jakaumaksi. Sen tiheysfunktio on

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

ja sen kertymäfunktio on arkustangenttifunktion muotoinen:

${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$.

Kahden standardin normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan suhde noudattaa standardia Cauchy-jakaumaa.^[2]

Cauchy-jakauma on siitä erikoinen, että sillä ei ole odotusarvoa eikä varianssia. Tämän vuoksi eräät toden­näköisyys­laskennan tärkeät tulokset kuten suurten lukujen laki ja keskeinen raja-arvolause eivät koske Cauchy-jakaumaa noudattavia satunnais­muuttujia. Koska sillä ei ole odotus­arvoa, sillä ei ole myöskään momentit generoivaa funktiota.^[3]

Cauchy-jakauma on yksi harvoista vakaista jakaumista, joiden tiheysfunktio voidaan ilmaista analyyttisesti; muita sellaisia ovat normaalijakauma ja Lévyn jakauma.

1. ↑ Earliest Known Uses of Some of the Words in Mathematics (C): Cauchy distribution jeff560.tripod.com. Viitattu 13.1.2016.
2. ↑ Pekka Tuominen, Pekka Norlamo: ”Cauchy-jakaumat”, Todennäköisyyslaskenta, osa 2, s. 429–432. Limes ry, 1978. ISBN 951-745-023-0
3. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä PT_PN2 ei löytynyt