Elliptinen integraali

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Elliptiset integraalit on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

${\displaystyle E(\phi )=\int _{a}^{\phi }R(t,{\sqrt {P(t)}})dt}$,

missä ${\displaystyle R}$ on rationaalifunktio ja ${\displaystyle P}$ polynomi, joka on muuttujan ${\displaystyle t}$ suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja ${\displaystyle a}$ on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.