Harmoninen funktio

Harmoninen funktio on vähintään kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen matemaattinen funktio f: U → ${\displaystyle \mathbb {R} }$, joka on määritelty jossakin avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ avoimessa osajoukossa U ja joka toteuttaa Laplacen yhtälön

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

Tämä kirjoitetaan yleensä muotoon

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

tai

${\displaystyle \textstyle \Delta f=0}$

Koska kompleksitaso ${\displaystyle \mathbb {C} }$ voidaan samastaa avaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ kanssa, harmonisen funktion käsite on käyttökelpoinen myös, kun määrittely­joukkona on jokin kompleksitason alue. Tällöin kyseessä on kompleksimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Kompleksitasossa jokaisen analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat harmonisia funktioita.

Harmonisilla funktiolla on suuri merkitys myös matemaattisessa fysiikassa ja stokastisten prosessien teoriassa.