Hippokrateen puolikuut

.

Hippokrateen puolikuut eli Alhazenin puolikuut ovat kuunsirpin muotoiset alueet, jotka jäävät suora­kulmaisen kolmion hypotenuusa halkaisijana piirretyn puoliympyrän ulkopuolelle mutta sisältyvät jompikumpi kateetti halkaisijana piirrettyyn puoliympyrään, kun tällaisen kolmion jokainen sivu halkaisijana piirretään ympyrä. Näiden alueiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion pinta-ala.^[1]

Tämä voidaan todistaa seuraavasti: Ensinnäkin käänteisestä Thaleen lauseesta seuraa, että hypotenuusa halkaisijana piirretty ympyrä todella kulkee suoran kulman kärjen kautta. Merkitään kateettien pituuksia a:lla ja b:llä, ja hypotenuusan pituutta c:llä. Suora­kulmaisen kolmion pinta-ala on tällöin ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}}$, ja koska kateettien puolikkaiden pituudet ovat ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {b}{2}}}$, ovat nämä puolikkaat säteinä (eli kateetit halkaisijana) piirrettyjen puoli­ympyröiden pinta-alat ${\displaystyle \pi {\frac {a^{2}}{8}}}$ ja ${\displaystyle \pi {\frac {a^{2}}{8}}}$. Alue, jonka muodostavat nämä puoliympyrät ja kolmio yhdessä, on siis pinta-alaltaan ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}+\pi {\frac {a^{2}+b^{2}}{8}}}$. Hippo­krateen puoli­kuiden pinta-ala saadaan vähentämällä tästä hypotenuusalle piiretyn puoli­ympyrän pinta-ala, joka on ${\displaystyle \pi {\frac {c^{2}}{8}}}$. Koska Pythagoraan lauseen mukaan ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, seuraa tästä, että näiden puolikuiden yhteen­laskettu pinta-ala on ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}}$, siis yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala.

Siinä erikois­tapauksessa, että kyseessä on tasa­kylkinen suora­kulmainen kolmio, molemmat kuun­sirpin muotoiset alueet ovat yhtenevät ja niin ollen pinta-alaltaan yhtä suuret. Suoran kulman puolittaja jakaa tällaisen kolmion kahteen keskenään yhtenevään kolmioon, jotka myös ovat tasa­kylkisiä suora­kulmaisia kolmioita: alkuperäisen kolmion kateetit ovat näiden kolmioiden hypo­tenuusoina ja alku­peräisen kolmion hypo­tenuusan puolikkaat niiden toisina kateetteina. Tästä seuraa, että tällaisen kolmion hypo­tenuusalle (oheisessa kuvassa AB) piirretystä ympyrästä se osa, joka jää toinen kateetti (AO) säteenä piirretyn ympyrän ulko­puolelle, on yhtä suuri kuin suora­kulmaisen kolmion.

1. ↑ ”Hippokrateen puolikuut”, Iso tietosanakirja, 3. osa (Gottlund–Ihmels), palsta 1327. Otava, 1932.