Kokonaisalue

Rengasta ${\displaystyle R}$ kutsutaan kokonaisalueeksi (engl. integral domain), jos ${\displaystyle R}$ on kommutatiivinen, ${\displaystyle 0\neq 1}$, ja ${\displaystyle R}$:ssä ei ole nollanjakajia.^[1][2] Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$, missä m on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa n-asteisella polynomilla on korkeintaan n juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki ${\displaystyle ab=ac\Rightarrow b=c}$.

Tästä artikkelista poiketen joskus harvoin sallitaan myös ei-kommutatiiviset kokonaisalueet ja jopa ei-ykköselliset kokonaisalueet ja renkaat (pseudorenkaat).

Se, että ${\displaystyle R}$:ssä ei ole nollanjakajia, tarkoittaa, että ${\displaystyle ab=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0}$.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

1. ↑ Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5: 0\ne 1) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
2. ↑ Jouni Parkkonen: Algebra (sivu 25: #R>=2) Jyväskylän yliopisto.