Kompaktius

Kompaktius on yksi topologian peruskäsitteistä. Kompakti avaruus X on sellainen joukko, että sen jokaisella avoimella peitteellä eli avoimista joukoista koostuvalla peitteellä on äärellinen osapeite.^[1]

Kompaktin avaruuden suljettu osajoukko on kompakti, ja kompaktin joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti.^[1] Jos X on kompakti eikä ole tyhjä joukko ja ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ on jatkuva, niin tällöin f saa X:ssä suurimman ja pienimmän arvonsa.^[1]

Kompakti avaruus on Lindelöf, ja kompakti metristyvä avaruus on N₂.^[2] Ascolin lauseen mukaan yhtäjatkuvien kuvausten joukossa W on jokaisella W:n jonolla osajono joka suppenee tasaisesti kompaktin joukon jokaisessa kompaktissa osajoukossa.^[3]

Usein hyödyllinen tulos on Heinen–Borelin lause: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:n normitopologialla varustettu osajoukko on kompakti tarkalleen silloin kun se on suljettu ja rajoitettu.^[1] Erityisesti jokainen reaalilukujen suljettu väli on kompakti.

1. ↑ ^{a b c d} Väisälä, Jussi: Topologia II, s. 64. Helsinki: Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6
2. ↑ Väisälä, s. 67
3. ↑ Väisälä, s. 118