Kompleksiluku

Kompleksilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {C} }$ on reaalilukujen joukon luonnollinen laajennus.

Kompleksiluku z on muotoa

${\displaystyle z=x+yi,\,\!}$

jossa x ja y ovat reaalilukuja ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee ${\displaystyle i^{2}=-1\,\!}$.^[1][2][3] Lukua x kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi (Re(z)) ja lukua y vastaavasti sen imaginaariosaksi (Im(z)).^[3]

Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: ${\displaystyle y=0}$.^[3] Jos ${\displaystyle x=0}$, kompleksilukua kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.

Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomille voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä nollakohtia eli juuria, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria^[3][4]. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ei ole reaalisia juuria, sillä ${\displaystyle x^{2}}$ on positiivinen kaikilla reaalisilla ${\displaystyle x}$:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut ${\displaystyle x=+i}$ ja ${\displaystyle x=-i}$.

Kompleksilukuja hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla.^[5][6] Sähkötekniikassa kompleksiluvun imaginaariyksikkö merkitään kirjaimella j.^[5][7][8]

1. ↑ Dennis Zill & Patrick Shanahan: Complex Analysis, s. 3. Jones & Bartlett Publishers, 2013. ISBN 9781449694623 (englanniksi)
2. ↑ Antti Niemi: Fourier-analyysi ja Laplace-muunnos, s. 9–13. (Neljäs, uudistettu painos) Helsinki: Opetushallitus, 1997. ISBN 952-13-0040-X
3. ↑ ^{a b c d} Erwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, s. 601–776 (englanniksi). (9th edition) John Wiley & Sons, Inc., 2006. ISBN 978-0-471-72897-9
4. ↑ Pitkäranta s.322
5. ↑ ^{a b} Martti Valtonen & Anu Lehtovuori: Piirianalyysi osa 1: tasa- ja vaihtovirtapiirien analyysi, s. 111, 269. Helsinki: Unigrafia Oy, 2011. ISBN 978-952-92-8720-8
6. ↑ Nigel P. Cook: Introductory DC/AC Circuits, s. 565–568(englanniksi). (Sixth Edition) Pearson Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-114006-X
7. ↑ Linja-Aho, Vesa: Vaihtosähköpiirien osoitinlaskenta kompleksiluvuilla. Solmu, 2017, nro 1. Artikkelin verkkoversio.
8. ↑ Kimmo Silvonen: Elektroniikka ja sähkötekniikka, s. 327. Otatieto, 2018. ISBN 978-951-672-377-1