Kuula (matematiikka)

Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos ${\textstyle (X,d)}$ on metrinen avaruus sekä ${\textstyle \mathbf {a} \in X}$ ja ${\textstyle r>0}$, niin joukko

${\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r\right\}}$

on avoin kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$ sekä

${\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)\leq r\right\}}$

on suljettu kuula, jonka keskipiste on ${\textstyle \mathbf {a} }$ ja säde ${\textstyle r}$.^[1] Lisäksi määritellään joukko

${\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)=r\right\}}$,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa ${\textstyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)}$ sanotaan myös pisteen ${\textstyle \mathbf {a} }$ kuulaympäristöksi.^[1]

1. ↑ ^{a b} Väisälä, Jussi: Topologia I, s. 22−24. (3. korjattu painos) Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-204-7