LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona.^[1] Tällöin siis matriisi

${\displaystyle M=LU\,}$

missä ${\displaystyle L}$ on alakolmiomatriisi ja ${\displaystyle U}$ yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin ${\displaystyle L}$ diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi ${\displaystyle 3\times 3}$-matriisille LU-hajotelma on siis

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{12}&1&0\\l_{13}&l_{23}&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}$

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä p1 ei löytynyt