Logistinen funktio

Logistinen funktio eli logistinen käyrä on yleinen kasvufunktio, jolle nimen antoi Pierre François Verhulst vuonna 1844 tai 1845 tutkiessaan sitä populaation kasvun yhteydessä. Sillä voidaan mallintaa S:n muotoista käyrää, joka kuvaa jonkin populaation P kasvua. Alku­vaiheessaan kasvu on lähes ekspo­nenti­aalista, mutta kun ympäristön asettamat rajat tulevat vastaan, kasvu hidastuu ja lopulta pysähtyy.

Yksinkertainen logistinen funktio määritellään yhtälöllä

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}}$

missä muuttujan P voidaan tulkita tarkoittavan populaatiota ja muuttujan t aikaa.^[1] Kun t saa kaikki reaalilukuarvot −∞:stä +∞:ään, saadaan S:n muotoinen käyrä. Käytännössä eksponenttifunktion e^−t luonteesta johtuen riittää laskea funktion arvot t:n ollessa rajallisella välillä, esimerkiksi välillä [−6, +6].

Logistisella funktiolla on sovelluksia useilla aloilla kuten keino­tekoisten neuroverkkojen tutkimuksessa, biologiassa, bio­matema­tiikassa, demografiassa, talous­tieteessä, kemiassa, matemaatti­sessa psyko­logiassa, toden­näköisyys­laskennassa, sosiologiassa, politiikan tutkimuksessa ja tilasto­tieteessä. Sen derivaatta on

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}P(t)=P(t)\cdot (1-P(t)).\,}$

Funktiolla on myös seuraava ominaisuus:

${\displaystyle 1-P(t)=P(-t).\,}$

Näin ollen funktio P − 1/2 on pariton funktio.

1. ↑ Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique, 1838, nro 10. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 09/08/2009.