Matemaattinen todistus

Matemaattinen todistus tarkoittaa muodollista todistusta, joka täyttää seuraavat ehdot:

1. väite on muotoiltu siten, että se voidaan kirjoittaa täsmällisen yksikäsitteisesti käyttäen tyypillisesti matemaattisia symboleita: relaatioita, vertailuoperaattoreita ja absoluuttisia lukuarvoja, ja
2. väite todistetaan käyttäen pelkästään sovittuja matemaattisia ja loogisia lainalaisuuksia sekä aksioomia. ^[1]

Matemaattisessa todistuksessa on kolme osaa:

• ongelmaa rajaavat ja määrittävät oletukset
• todistusta vaativa väite
• varsinainen todistus, jossa oletuksien nojalla näytetään väite todeksi.

Oletukset mainitaan usein väitteen yhteydessä, jolloin matemaattisen todistuksen osia ovat vain väite ja todistus. Todistus ei saa sisältää väitettä oletuksena missään muodossa, koska silloin kyseessä on kehäpäätelmä. Todistettaessa voidaan oletusten lisäksi käyttää hyväksi toisia jo aiemmin todistettuja lauseita. Usein matemaattisen todistuksen loppuun merkitään QED latinankielisistä sanoista quod erat demonstrandum ("mikä oli todistettava, MOT") tai piirretään pieni neliö (${\displaystyle \square }$).

Kaikkia yksinkertaisiakaan väitteitä ei ole helppo todistaa matemaattisesti. Esimerkiksi Pierre de Fermat'n mukaan nimetty Fermat'n suuri lause säilyi todistamattomana yli 300 vuotta, kunnes 1990-luvulla englantilainen matemaatikko Andrew Wiles löysi todistuksen yli 10 vuoden työn tuloksena. Vaikka todistettava väite on erittäin yksinkertainen, niin vain harvat matemaatikot kykenevät ymmärtämään monimutkaisen todistuksen.

Matemaattisia todistuksia käytetään laajalti muun muassa tietojenkäsittelytieteissä, kun halutaan todistaa jokin algoritmi oikeaksi. Periaatteessa myös kokonaisia tietokoneohjelmia voidaan todistaa oikeiksi, mutta ohjelmien todistaminen on kuitenkin osoittautunut sen verran työlääksi, että käytännössä vain pieniä, kriittisiä osia todistetaan tarvittaessa.

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä r1 ei löytynyt