Projektiivinen taso

Projektiivinen taso on geometrinen struktuuri, joka laajentaa tason käsitettä. Tavallisella euklidisella tasolla kaksi suoraa tavallisimmin leikkaa toisensa yhdessä pisteessä, mutta on myös suoria, yhden­suuntaisia suoria, jotka eivät leikkaa. Projek­tiivinen taso voidaan käsittää tavalliseksi tasoksi, johon on lisätty "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat. Täten mitkä tahansa kaksi suoraa leikkavat toisensa aina yhdessä ja vain yhdessä pisteessä.

Tämän matematiikan haaran kehityksen panivat alulle renessanssiajan kuva­taiteilijat kehittäessään perspektiivipiirustuksen tekniikkaa.

Tavallisimmin projektiivisella tasolla tarkoitetaan reaalista projektiivista tasoa, jota sanotaan myös laajennetuksi euklidiseksi tasoksi. Sillä on huomattava merkitys, paitsi projek­tiivisessa geometriassa, myös algebrallisessa geometriassa ja topologiassa. Sille käytetään eri yhteyksissä muun muassa merkintöjä PG(2, R), RP² tai P₂(R). Yleisemmässä merkityksessä projektiivisella tasolla tarkoitetaan mitä tahansa struktuuria, joka toteuttaa jäljempänä esitetyssä määritelmässä asetetut ehdot. Sellaisia on reaalisen projektiivisen tason lisäksi useita muitakin, sekä äärettömiä kuten kompleksinen projektiivinen taso että äärellisiä kuten Fanon taso.

Projektiivinen taso on kaksi­ulotteinen projektiivinen avaruus, mutta kaikkia projektiivisia tasoja ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen projektiiviseen avaruuteen. Tämä upotusominaisuus seuraa Desarguesin lauseesta.