Ristitulo

Ristitulo eli vektoritulo on kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ määritelty kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka merkkinä käytetään vino­ristiä ×. Jos a ja b ovat kaksi eri­suuntaista vektoria, niiden ristitulo a × b on vektori, joka on molempia vastaan kohtisuorassa ja näin ollen kohti­suorassa niiden määrittämään tasoon nähden. Risti­tulolla on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja tietokoneohjelmoinnissa. Se on erotettava vektorien pistetulosta eli skalaari­tulosta.

Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole lineaarisesti riippumattomia, tai jompikumpi niistä on nollavektori, ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on itseisarvoltaan (eli pituudeltaan) yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohti­suorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen, toisin sanoen a × b = -b × a), ja se noudattaa osittelulakia vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen a × (b + c) = a × b + a × c). Avaruus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ varustettuna ristitulolla on algebra reaalilukujen kunnan yli. Se ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen, mutta se on Lien algebra.

Pistetulon tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden metriikasta, mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden orientaatiosta eli kätisyydestä. Risti­tulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos pseudovektoriksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien ulkoista tuloa käyttää niin, että tuloksena on bivektori tai 2-muoto. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavan­omaisessa kolmi­ulotteisessa risti­tulossa voidaan n ulottuvuudessa muodostaa n - 1 vektorin tulo niin, että se on kohti­suorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai seitsemässä ulottuvuudessa ^[1] voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa ristitulo on yksikäsitteinen.

1. ↑ WS Massey: Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces. The American Mathematical Monthly, 1983, 90. vsk, nro 10, s. 697–701. ”If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space.” doi:10.2307/2323537 JSTOR:2323537