Sirkulaatio

Vektorikentän viivaintegraali suljetun käyrän yli on sen kierto^[1] eli sirkulaatio (engl. circulation) tuon käyrän ympäri. Sirkulaatiota merkitään Γ:lla (iso kreikkalainen gamma-kirjain). Jos ${\textstyle \mathbf {F} }$ on jatkuva vektorikenttä ja ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ on suljettu käyrä, jonka parametrisaatio on ${\textstyle \mathbf {r} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, niin ${\textstyle \mathbf {F} }$:n sirkulaatio ${\textstyle {\mathcal {C}}}$:n ympäri on integraali

${\displaystyle \Gamma =\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$^[2][3]

Integraalimerkissä oleva rengas painottaa sitä, että käyrä ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ on suljettu.

Stokesin lauseen mukaan vektorikentän kierto käyrän C ympäri vastaa vektorikentän roottorin integraalia minkä tahansa käyrän rajaaman pinnan S yli:

${\displaystyle \oint _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int _{\mathcal {S}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$,

missä da on pinta-ala-alkio, joka on pintaa vastaan kohtisuora, ja jonka etumerkki määräytyy oikean käden säännön mukaisesti käyrän kiertosuunnan perusteella.

1. ↑ Väisälä, Kalle: Vektorianalyysi, s. 62. WSOY, 1968.
2. ↑ Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus, A Complete Course, s. 880. (8. painos) Toronto: Pearson, 2014. ISBN 978-0-32-178107-9 (englanniksi)
3. ↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics, s. 550−555. (7th Edition in SI Units) Singapore: McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2 (englanniksi)