Skalaaripotentiaali

Skalaaripotentiaali on vektorianalyysiin liittyvä käsite. Matemaattisessa fysiikassa se kuvaa kappaleen potentiaalienergiaa tilanteessa, jossa tämä riippuu ainoastaan kappaleen sijainnista, ei tiestä, jota pitkin se on kulkenut paikasta toiseen. Skalaaripotentiaali on kolmiulotteisessa avaruudessa määritelty skalaarikenttä, toisin sanoen skalaarisuure, jolla ei ole määrättyä suuntaa ja joka riippuu vain paikasta. Tunnettu esimerkki tästä on gravitaatioon liittyvä kappaleen potentiaalienergia.

Skalaaripotentiaali on keskeinen käsite vektorianalyysissä ja fysiikassa. Usein sitä sanotaan lyhyesti potentiaaliksi, jos ei ole sekaanuksen vaaraa vektoripotentiaalin kanssa. Skalaaripotentiaali on esimerkki skalaarikentästä. Jos on annettu vektorikenttä ${\displaystyle \mathbf {F} }$, sen skalaaripotentiaali ${\displaystyle P}$ määritellään fysiikassa siten, että

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),}$^[1]

missä <math\mabla P</math> on ${\displaystyle P}$:n gradientti. Skalaaripotentiaali on siis vektorikentän gradientin vastaluku. Matematiikassa potentiaali määritellään kuitenkin toisinaan funktioksi, jonka gradientti on annettu vektorikenttä sellaisenaan^[2] Tästä P:n määritelmästä seuraa, että vektorikentän F:n suunta on kaikkialla se, mihin kuljettaessa P pienenee nopeimmin, ja sen itseisarvo on sama kuin P:n muutosnopeus pituusyksikköä kohti tässä suunnassa.

Vektorikentällä F on skalaaripotentiaali, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat, keskenään yhtäpitävät ehdot:

1. On olemassa sellainen skalaarifunktio P, ett' ${\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),}$, kun integrointi suoritetaan mitä tahansa pisteestä a pisteeseen b johtavaa Jordanin kaarta pitkin
2. ${\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,}$ missä integraali suoritetaan mitä tahansa suljettua käyrää eli Jordanin käyrää pitkin.
3. ${\displaystyle {\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.}$

Näistä ehdoista ensimmäinen esittää gradientin peruslausetta, ja se pätee jokaiselle vektorikentälle, joka on jonkin differentioituvan yksiarvoisen skalaarikentän P gradientti. Toinen ehto merkitsee, että F voidaan esittää jonkin skalaarifunktion gradienttina. Kolmas ehto tarkoittaa, että funktion F roottori on nolla. Vektorikenttää, joka täyttää nämä ehdot, sanotaan pyörteettömäksi.

Skalaaripotentiaalilla on tärkeä merkitys monilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Gravitaatiopotentiaali on yksikkömassaan kohdistuvan gravitaatiovoiman, toisin sanoen gravitaatiokentän aiheuttaman kiihtyvyyden skalaaripotentiaali, ja samalla se on yksikkömassan potentiaalienergia tässä kentässä. Elektrostatiikassa sähköinen potentiaali on sähkökentän voimakkuuteen liittyvä skalaaripotentiaali ja samalla elektrostaattinen potentiaali yksikkövarausta kohti. Fluididynamiikassa pyörteettömillä lamellaarisella kentällä on skalaaripotentiaali vain siinä erikoistapauksessa, jossa se on Laplacen kenttä. Potentiaalilla on keskeinen osa Lagrangen ja Hamiltonin esittämissä klassisen mekaniikan muotoiluissa. Lisäksi skalaaripotentiaalilla on perustava merkitys kvanttimekaniikassa.

Kaikilla vektorikentillä ei ole skalaaripotentiaalia. Kenttiä, joilla sellainen on, sanotaan konservatiivisiksi, sillä ne liittyvät läheisesti fysikaaliseen konservatiivisen voiman käsitteeseen. Esimerkiksi gravitaatio ja sähköstaattinen voima ovat konservatiivisia, kun taas /kitka ja magneettiset voimat eivät ole. Helmholtzin dekompositiolauseen mukaan kuitenkin kaikki vektorikentät voidaan esittää pyörteettömän ja lähteettömän kentän summana. Elektrodynamiikassa sähkömagneettinen skalaari- ja vektoripotentiaali yhdessä muodostavat niin sanotun sähkömagneettisen nelipotentiaalin.

1. ↑ Herbert Goldstein: Classical Mechanics, s. 3–4. (2. painos) Määritä julkaisija! ISBN 978-0-201-02918-5
2. ↑ Olli Lehto: ”Vektorikentän potentiaali”, Differentiaali- ja integraalilaskenta II, s. 65–67. Offset oy, 1978.