Casus irreducibilis

En algèbre, le casus irreducibilis (latin pour « cas irréductible ») désigne un cas apparaissant lors de la recherche des racines réelles d'un polynôme à coefficients entiers de degré 3 ou plus : c'est celui où les racines ne peuvent s'exprimer à l'aide de radicaux réels. Le casus irreducibilis le plus connu est celui des polynômes de degré 3 irréductibles dans les rationnels (impossibles à factoriser en polynômes de degré moindre) ayant trois racines réelles, cas qui a été prouvé par Pierre Wantzel en 1843^[1].

On peut obtenir le casus irreducibilis d'un polynôme de degré 3 : ${\displaystyle P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$ , via son discriminant ${\displaystyle \Delta =18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}}$.

Alors :

• si ${\displaystyle \Delta <0}$, le polynôme a deux racines complexes non réelles, et la racine réelle s'exprime par radicaux via la formule de Cardan^[2] ;
• si ${\displaystyle \Delta =0}$, il y a trois racines réelles dont deux sont égales. La racine double, qui s'obtient par l'algorithme d'Euclide (recherche du PGCD de ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle P^{\prime }}$) est rationnelle et le polynôme n'est pas irréductible ; les deux autres racines sont solutions d'une équation du deuxième degré et sont donc exprimables par radicaux réels ;
• si ${\displaystyle \Delta >0}$, il y a trois racines réelles distinctes ;
  • soit une racine rationnelle existe ; elle peut être obtenue par la recherche de racine "évidente", auquel cas le polynôme peut être factorisé en produit d'un polynôme rationnel du premier degré, et d'un polynôme rationnel du deuxième degré dont les racines s'expriment par radicaux ;
  • soit il n'y a pas de racine rationnelle, et le polynôme est alors en casus irreducibilis : toutes les racines sont réelles mais nécessitent des nombres complexes pour être exprimées avec des radicaux.