Dual d'un espace vectoriel topologique

En mathématiques, en vue d'un certain nombre d'applications (théorie des distributions^[1], des hyperfonctions, et leur utilisation notamment pour l'étude des équations aux dérivées partielles^[2],[3],[4]), il est nécessaire de développer et d'étudier la notion de dual d'un espace vectoriel topologique, plus générale que celle de dual d'un espace vectoriel normé. Néanmoins, la théorie de la dualité n'est fructueuse et utile que dans le cadre des espaces localement convexes, dont la théorie a été fondée par Andreï Kolmogorov^[5] et John von Neumann en 1935^[6]. La théorie de la dualité dans ces espaces s'est développée dans les années suivantes, avec les contributions importantes de Gottfried Köthe (sur les espaces de suites)^[7], de Jean Dieudonné^[8] et de George Mackey^[9],[10] ; puis l'article cosigné par Jean Dieudonné et Laurent Schwartz^[11], sa généralisation par Nicolas Bourbaki^[12], les travaux d'Alexandre Grothendieck^{[13],[14],[15],[16]}, enfin la parution entre 1953 et 1955 de la première édition du Livre des Éléments de mathématique de N. Bourbaki consacré aux espaces vectoriels topologiques^[17], en ont marqué la maturité^[18],[19]. Une première approche consiste à considérer deux espaces vectoriels E et F (sans topologie a priori) et à les mettre en dualité au moyen d'une forme bilinéaire, si possible non dégénérée. Une autre approche consiste à partir d'un espace localement convexe E, puis considérer son dual topologique ${\displaystyle E^{\prime }}$ ; dans ce cas, E et ${\displaystyle E^{\prime }}$ sont naturellement mis en dualité au moyen de la « forme bilinéaire canonique ». Tous les résultats obtenus dans la première approche sont valides dans la seconde ; suivant la nature de l'espace localement convexe E, on peut obtenir certaines propriétés supplémentaires^[20].