Ensemble de Mandelbrot

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En mathématiques, l'ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite de nombres complexes définie par récurrence par :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\end{cases}}}$

est bornée.

L'ensemble de Mandelbrot a été découvert par Gaston Julia et Pierre Fatou^[1] avant la Première Guerre mondiale. Sa définition et son nom actuel sont dus à Adrien Douady, en hommage aux représentations qu'en a réalisées Benoît Mandelbrot dans les années 1980. Cet ensemble permet d'indicer les ensembles de Julia associés à la suite : à chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes. Cet ensemble est donc intimement lié aux ensembles de Julia, ils produisent d'ailleurs des formes similairement complexes.

Les images de l'ensemble de Mandelbrot sont réalisées en parcourant les nombres complexes sur une région carrée du plan complexe et en déterminant pour chacun d'eux si le résultat tend vers l'infini ou pas lorsqu'on y itère une opération mathématique. On considère la partie réelle et imaginaire de chaque nombre complexe comme des coordonnées et chaque pixel est coloré selon la rapidité de divergence, ou si elle ne diverge pas.

Les images de l'ensemble de Mandelbrot exposent une limite élaborée qui révèle progressivement des détails récursifs toujours plus fins en augmentant le grossissement. La limite de l'ensemble est constituée de plus petites versions de la forme principale, donc la propriété fractale de l'autosimilarité s'applique à l'ensemble tout entier (et pas simplement à certaines parties).

L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus de visualisation mathématique.