Formule de Jensen

Ne doit pas être confondu avec Inégalité de Jensen.

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La formule de Jensen (d'après le mathématicien Johan Jensen) est un résultat d'analyse complexe qui décrit le comportement d'une fonction analytique sur un cercle par rapport aux modules des zéros de cette fonction. Elle est d'une aide précieuse pour l'étude des fonctions entières.

L'énoncé est le suivant :

Soient ${\displaystyle f}$ une fonction analytique sur une région du plan complexe contenant le disque fermé ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$ de centre 0 et de rayon r et ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N}}$ les zéros de ${\displaystyle f}$ dans ${\displaystyle {\overline {D(0,r)}}}$, comptés avec leur multiplicité.

Si ${\displaystyle f(0)}$ est non nul, alors

${\displaystyle \log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{N}\log \left({\frac {r}{|\alpha _{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}$

Ou de manière équivalente :

Si ${\displaystyle n(r)}$ désigne le nombre de zéros de module strictement inférieur à ${\displaystyle r}$, alors

${\displaystyle \log |f(0)|+\int _{0}^{r}{\frac {n(s)}{s}}~\mathrm {d} s={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|~\mathrm {d} \theta .}$

Cette formule établit un lien entre les modules des zéros contenus dans un disque ${\displaystyle |z|<r}$ et les valeurs de ${\displaystyle |f(z)|}$ sur le cercle ${\displaystyle |z|=r}$, et peut être vue comme une généralisation des propriétés de valeurs moyennes des fonctions harmoniques. La formule de Jensen peut être généralisée aux fonctions méromorphes : c'est le théorème de Poisson-Jensen.