Formule de Bretschneider

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En géométrie, la formule de Bretschneider permet de calculer l'aire d'un quadrilatère non croisé :

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

où, a, b, c, d, sont les longueurs des côtés du quadrilatère, p le demi-périmètre, et α et γ deux angles opposés quelconques ^[1].

On peut remarquer que ${\displaystyle \cos(\alpha +\gamma )=\cos(\beta +\delta )}$ puisque ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =2\pi }$.

Cette formule fonctionne pour un quadrilatère convexe ou concave (mais non croisé), non forcément inscriptible.

Elle généralise la formule de Brahmagupta de l'aire d'un quadrilatère inscriptible (cas ${\displaystyle \alpha +\gamma =\pi }$), ainsi que la formule de Héron de l'aire d'un triangle (cas ${\displaystyle d=0}$).

Elle montre qu'un quadrilatère articulé possède une aire maximale lorsqu'on inscrit ses sommets dans un cercle.

Elle a été découverte en 1842 par le mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider ^[2] .